266 lines
9.4 KiB
Markdown
266 lines
9.4 KiB
Markdown
---
|
||
title: 南软/智软2025年开放日机试第1题
|
||
description: 图论+并查集问题
|
||
date: 2025-07-27T11:59:00+08:00
|
||
slug: nju01
|
||
# image: helena-hertz-wWZzXlDpMog-unsplash.jpg
|
||
categories:
|
||
- 算法题
|
||
tags: [
|
||
"图论",
|
||
"并查集",
|
||
"算法",
|
||
"夏令营"
|
||
]
|
||
math: true
|
||
---
|
||
|
||
# 题目
|
||
|
||
有一个圆上均匀分布着L个点（编号按逆时针顺序依次为1~L）。在这些点中还存在m条弦。如果在圆弧上从一个点走到另一个相邻的点，需要支付1元的费用；但如果通过弦来走（包括交点），则无需支付费用。
|
||
例如，如图所示，如果存在弦（1,3）和（2,4），则从点1到点2可以先从1走到两条弦的交点，再从交点走到2，这样就无需收费。请你设计算法，找出某两个点之间最少的交通费。
|
||
|
||
- 程序的第一行输入三个整数：L、m、q，用空格分隔。
|
||
- 接下来输入m行，每行两个整数，表示一条弦。
|
||
- 接下来输入q行，每行两个整数，表示q个问题。如“1 2”则表示一个问题，表示点1和2之间的最少交通费。
|
||
- 程序的输出为q行，每行为一个问题的答案。
|
||
|
||
<img src="https://cdn.ember.ac.cn/images/bed/202507271219886.png" width="300">
|
||
|
||
## 示例输入
|
||
```
|
||
5 2 1
|
||
1 3
|
||
2 4
|
||
1 2
|
||
```
|
||
|
||
## 示例输出
|
||
```
|
||
0
|
||
```
|
||
|
||
# 机试情况
|
||
|
||
南软/智软的夏令营机试是4小时4道题，每题100分，满分400分。4小时内排行榜上此题无人AC，不过有人拿到60-70分。我自己在考场也是没完全做出来，事后思考后才成功做出。
|
||
|
||
# 解题思路
|
||
|
||
我们可以自然地把这个问题抽象为一个图，其中包含两种不同代价的边：
|
||
|
||
- <strong>圆弧边：</strong>连接圆上相邻的两个点，例如点 i 和点 i+1（以及点 L 和点 1）。走这些边需要花费1元，因此它们的边权为 1。
|
||
- <strong>免费边：</strong>所有通过弦和弦的交点构成的路径。走这些边无需花费，因此它们的边权为 0。
|
||
|
||
问题的关键在于，所有通过弦和交点能够互相到达的点，实际上构成了一个“免费交通网络”。网络内的任意两点之间都可以零费用到达。我们可以把这样一个网络视为一个连通分量。
|
||
|
||
所以我们可以用**并查集** 来高效地处理和合并这些连通分量。
|
||
|
||
1. **初始化**：将圆上的 `L` 个点每一个都看作一个独立的集合。
|
||
2. **合并弦端点**：对于给定的 `m` 条弦，每条弦 `(u, v)` 都意味着 `u` 和 `v` 是零费用连通的。我们将 `u` 和 `v` 所在的集合合并。
|
||
3. **合并相交弦**：接下来，我们需要找出所有相交的弦。
|
||
- **如何判断两条弦是否相交？** 假设有两条弦 `(a, b)` 和 `(c, d)`。为了方便判断，我们先将每条弦的端点按编号从小到大排序，即 `u1 = min(a, b), v1 = max(a, b)` 和 `u2 = min(c, d), v2 = max(c, d)`。 这两条弦在圆内相交的充要条件是，它们的端点在圆上是交错排列的。也就是说，必须满足 `u1 < u2 < v1 < v2` 或者 `u2 < u1 < v2 < v1`。
|
||
- 对于每一对相交的弦，例如 `(a, b)` 和 `(c, d)`，它们的所有四个端点 `a, b, c, d` 都应该在同一个零费用连通分量中。我们只需将其中任意一个点（如 `a`）与另一条弦的任意一个点（如 `c`）所在的集合合并即可。
|
||
|
||
完成以上步骤后，并查集就完整地记录了所有的零费用连通分量。
|
||
|
||
**第二步：计算两个点之间的最短交通费**
|
||
|
||
对于每一个查询 `(s, t)`：
|
||
|
||
1. 首先，我们使用并查集的 `find` 操作检查 `s` 和 `t` 是否在同一个连通分量中。
|
||
- 如果 `find(s) == find(t)`，说明它们在同一个免费交通网络内，可以直接到达，费用为 0。
|
||
2. 如果它们不在同一个连通分量中，费用就来自于在圆弧上从一个连通分量“跳”到另一个连通分量的次数。这可以转化为一个在**“分量图”**上的最短路问题。
|
||
- **构建分量图**：图中的每个节点代表一个连通分量。
|
||
- **分量图的边**：如果圆弧上相邻的两个点 `i` 和 `i+1` 属于不同的连通分量（即 `find(i) != find(i+1)`），我们就在这两个分量对应的节点之间连一条边，权重为 1。
|
||
- **求解**：问题就变成了，在分量图上，从 `s` 所在的分量走到 `t` 所在的分量，最少需要经过几条边。这是一个典型的无权图最短路问题，可以使用**广度优先搜索 (BFS)** 来解决。
|
||
|
||
# C++ 代码
|
||
|
||
```cpp
|
||
#include <iostream>
|
||
#include <vector>
|
||
#include <numeric> // std::iota
|
||
#include <algorithm> // std::swap, std::min, std::max
|
||
#include <utility> // std::pair
|
||
#include <map>
|
||
#include <queue>
|
||
|
||
// -------- DSU 模板 --------
|
||
class DSU
|
||
{
|
||
public:
|
||
vector<int> parent;
|
||
vector<int> sz; // 按大小合并的依据 (避免与C++的size()函数重名，改为sz)
|
||
int count; // 联通分量
|
||
DSU(int n)
|
||
{
|
||
count = n;
|
||
parent.resize(n);
|
||
sz.resize(n);
|
||
std::iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // 从0开始连续填充
|
||
sz.assign(n, 1);
|
||
}
|
||
int find(int i)
|
||
{
|
||
if (parent[i] == i)
|
||
return i;
|
||
return parent[i] = find(parent[i]);
|
||
}
|
||
void unite(int a, int b)
|
||
{
|
||
int root_a = find(a), root_b = find(b);
|
||
if (root_a != root_b)
|
||
{
|
||
if (sz[root_a] < sz[root_b])
|
||
std::swap(root_a, root_b);
|
||
// a是大树，b合并到a
|
||
parent[root_b] = root_a;
|
||
sz[root_a] += sz[root_b];
|
||
count--;
|
||
}
|
||
}
|
||
bool is_connected(int a, int b)
|
||
{
|
||
return find(a) == find(b);
|
||
}
|
||
// 获取联通分量
|
||
int get_count() const
|
||
{
|
||
return count;
|
||
}
|
||
// 获取i所在集合的大小
|
||
int get_size(int i)
|
||
{
|
||
return sz[find(i)];
|
||
}
|
||
};
|
||
// -------- DSU 模板结束 --------
|
||
|
||
|
||
int main()
|
||
{
|
||
// C++ 标准输入输出加速
|
||
std::ios_base::sync_with_stdio(false);
|
||
std::cin.tie(NULL);
|
||
|
||
int L, m, q;
|
||
std::cin >> L >> m >> q;
|
||
|
||
// --- 步骤 1: 预处理，构建零费用连通分量 ---
|
||
|
||
// DSU对象，大小为L+1以方便使用1-based索引
|
||
DSU dsu(L + 1);
|
||
|
||
vector<std::pair<int, int>> chords;
|
||
for (int i = 0; i < m; ++i)
|
||
{
|
||
int u, v;
|
||
std::cin >> u >> v;
|
||
// 存储弦，并保证端点有序，方便后续判断
|
||
chords.push_back({std::min(u, v), std::max(u, v)});
|
||
// 合并弦的两个端点
|
||
dsu.unite(u, v);
|
||
}
|
||
|
||
// 检查所有弦的配对，看它们是否相交 (O(m^2))
|
||
for (int i = 0; i < m; ++i)
|
||
{
|
||
for (int j = i + 1; j < m; ++j)
|
||
{
|
||
int u1 = chords[i].first;
|
||
int v1 = chords[i].second;
|
||
int u2 = chords[j].first;
|
||
int v2 = chords[j].second;
|
||
|
||
// 判断相交：端点是否交错排列
|
||
// (u1 < u2 < v1 < v2) 或 (u2 < u1 < v2 < v1)
|
||
if ((u1 < u2 && u2 < v1 && v1 < v2) || (u2 < u1 && u1 < v2 && v2 < v1))
|
||
{
|
||
// 如果相交，合并它们所在的集合
|
||
// 只需要合并任意两个不同弦上的点即可
|
||
dsu.unite(u1, u2);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// --- 步骤 2: 构建“分量图” ---
|
||
|
||
// 使用 map 将 DSU 的根节点映射到从 0 开始的连续索引
|
||
std::map<int, int> comp_map;
|
||
int comp_idx_counter = 0;
|
||
for (int i = 1; i <= L; ++i) {
|
||
int root = dsu.find(i);
|
||
if (comp_map.find(root) == comp_map.end()) {
|
||
comp_map[root] = comp_idx_counter++;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
int num_components = comp_map.size();
|
||
vector<vector<int>> comp_adj(num_components);
|
||
|
||
// 遍历圆周上的所有相邻点对，构建分量图的邻接表
|
||
for (int i = 1; i <= L; ++i)
|
||
{
|
||
int p1 = i;
|
||
int p2 = (i == L) ? 1 : i + 1; // p2是p1在圆上的下一个点
|
||
|
||
// 如果相邻点属于不同分量，则在分量图上添加一条边
|
||
if (!dsu.is_connected(p1, p2))
|
||
{
|
||
int root1 = dsu.find(p1);
|
||
int root2 = dsu.find(p2);
|
||
int idx1 = comp_map[root1];
|
||
int idx2 = comp_map[root2];
|
||
comp_adj[idx1].push_back(idx2);
|
||
comp_adj[idx2].push_back(idx1);
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// --- 步骤 3: 处理查询 ---
|
||
for (int i = 0; i < q; ++i)
|
||
{
|
||
int s, t;
|
||
std::cin >> s >> t;
|
||
|
||
// 如果起点和终点在同一个分量，费用为0
|
||
if (dsu.is_connected(s, t))
|
||
{
|
||
std::cout << 0 << "\n";
|
||
continue;
|
||
}
|
||
|
||
// 否则，在分量图上运行BFS
|
||
int start_comp_idx = comp_map[dsu.find(s)];
|
||
int end_comp_idx = comp_map[dsu.find(t)];
|
||
|
||
std::queue<std::pair<int, int>> bfs_q; // 存储 {当前分量索引, 距离}
|
||
vector<int> dist(num_components, -1); // -1表示未访问
|
||
|
||
bfs_q.push({start_comp_idx, 0});
|
||
dist[start_comp_idx] = 0;
|
||
|
||
while (!bfs_q.empty())
|
||
{
|
||
auto [curr_comp, d] = bfs_q.front();
|
||
bfs_q.pop();
|
||
|
||
if (curr_comp == end_comp_idx)
|
||
{
|
||
std::cout << d << "\n";
|
||
break;
|
||
}
|
||
|
||
for (int neighbor_comp : comp_adj[curr_comp])
|
||
{
|
||
if (dist[neighbor_comp] == -1) // 如果邻居未被访问
|
||
{
|
||
dist[neighbor_comp] = d + 1;
|
||
bfs_q.push({neighbor_comp, d + 1});
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
return 0;
|
||
}
|
||
``` |