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title: 南软/智软2025年开放日机试第1题
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description: 南京大学软件学院/智能软件与工程学院开放日机试第1题，图论+并查集问题
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date: 2025-07-27T11:59:00+08:00
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lastmod: 2025-08-28T20:20:00+08:00
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slug: nju01
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# image: helena-hertz-wWZzXlDpMog-unsplash.jpg
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categories:
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- 算法题
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tags: [
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"图论",
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"并查集",
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"算法",
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"夏令营"
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math: true
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# 题目
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有一个圆上均匀分布着L个点（编号按逆时针顺序依次为1~L）。在这些点中还存在m条弦。如果在圆弧上从一个点走到另一个相邻的点，需要支付1元的费用；但如果通过弦来走（包括交点），则无需支付费用。
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例如，如图所示，如果存在弦（1,3）和（2,4），则从点1到点2可以先从1走到两条弦的交点，再从交点走到2，这样就无需收费。请你设计算法，找出某两个点之间最少的交通费。
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- 程序的第一行输入三个整数：L、m、q，用空格分隔。
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- 接下来输入m行，每行两个整数，表示一条弦。
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- 接下来输入q行，每行两个整数，表示q个问题。如“1 2”则表示一个问题，表示点1和2之间的最少交通费。
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- 程序的输出为q行，每行为一个问题的答案。
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<strong>注：题中 L 最大为 3 × 10^8</strong>
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<img src="https://cdn.ember.ac.cn/images/bed/202507271219886.png" width="300">
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## 示例输入
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```
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5 2 1
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1 3
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2 4
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1 2
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```
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## 示例输出
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```
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0
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```
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# 机试情况
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南软/智软的夏令营机试是4小时4道题，每题100分，满分400分。4小时内排行榜上此题无人AC，不过有人拿到60-70分。我自己在考场也是只拿到部分分数（没想到通法，只打表了一些少数点的情况），事后思考后才成功解决。
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# 解题思路
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我们可以自然地把这个问题抽象为一个图，其中包含两种不同代价的边：
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- <strong>圆弧边：</strong>连接圆上相邻的两个点，例如点 i 和点 i+1（以及点 L 和点 1）。走这些边需要花费1元，因此它们的边权为 1。
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- <strong>免费边：</strong>所有通过弦和弦的交点构成的路径。走这些边无需花费，因此它们的边权为 0。
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问题的关键在于，所有通过弦和交点能够互相到达的点，实际上构成了一个“免费交通网络”。网络内的任意两点之间都可以零费用到达。我们可以把这样一个网络视为一个连通分量。
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所以我们可以用**并查集** 来高效地处理和合并这些连通分量。
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1. **初始化**：将圆上的 `L` 个点每一个都看作一个独立的集合。
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2. **合并弦端点**：对于给定的 `m` 条弦，每条弦 `(u, v)` 都意味着 `u` 和 `v` 是零费用连通的。我们将 `u` 和 `v` 所在的集合合并。
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3. **合并相交弦**：接下来，我们需要找出所有相交的弦。
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- **如何判断两条弦是否相交？** 假设有两条弦 `(a, b)` 和 `(c, d)`。为了方便判断，我们先将每条弦的端点按编号从小到大排序，即 `u1 = min(a, b), v1 = max(a, b)` 和 `u2 = min(c, d), v2 = max(c, d)`。 这两条弦在圆内相交的充要条件是，它们的端点在圆上是交错排列的。也就是说，必须满足 `u1 < u2 < v1 < v2` 或者 `u2 < u1 < v2 < v1`。
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- 对于每一对相交的弦，例如 `(a, b)` 和 `(c, d)`，它们的所有四个端点 `a, b, c, d` 都应该在同一个零费用连通分量中。我们只需将其中任意一个点（如 `a`）与另一条弦的任意一个点（如 `c`）所在的集合合并即可。
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完成以上步骤后，并查集就完整地记录了所有的零费用连通分量。
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**第二步：计算两个点之间的最短交通费**
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对于每一个查询 `(s, t)`：
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1. 首先，我们使用并查集的 `find` 操作检查 `s` 和 `t` 是否在同一个连通分量中。
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- 如果 `find(s) == find(t)`，说明它们在同一个免费交通网络内，可以直接到达，费用为 0。
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2. 如果它们不在同一个连通分量中，费用就来自于在圆弧上从一个连通分量“跳”到另一个连通分量的次数。这可以转化为一个在 **“分量图”** 上的最短路问题。
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||
- 图中的每个节点代表一个连通分量。
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- 如果圆弧上相邻的两个点 `i` 和 `i+1` 属于不同的连通分量（即 `find(i) != find(i+1)`），我们就在这两个分量对应的节点之间连一条边，权重为 1。
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||
- 问题就变成了，在分量图上，从 `s` 所在的分量走到 `t` 所在的分量，最少需要经过几条边。这是一个典型的无权图最短路问题，可以使用**BFS** 来解决。
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# C++ 代码
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <numeric> // iota
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#include <algorithm> // swap, min, max
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#include <utility> // pair
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#include <map>
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#include <queue>
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using namespace std;
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// -------- DSU 模板 --------
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class DSU
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{
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public:
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vector<int> parent;
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vector<int> sz; // 按大小合并的依据 (避免与C++的size()函数重名，改为sz)
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int count; // 联通分量
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DSU(int n)
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{
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count = n;
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parent.resize(n);
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sz.resize(n);
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iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // 从0开始连续填充
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sz.assign(n, 1);
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}
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int find(int i)
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{
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if (parent[i] == i)
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return i;
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return parent[i] = find(parent[i]);
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}
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void unite(int a, int b)
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{
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int root_a = find(a), root_b = find(b);
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if (root_a != root_b)
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{
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if (sz[root_a] < sz[root_b])
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std::swap(root_a, root_b);
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// a是大树，b合并到a
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parent[root_b] = root_a;
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||
sz[root_a] += sz[root_b];
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count--;
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}
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}
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bool is_connected(int a, int b)
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{
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return find(a) == find(b);
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}
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// 获取联通分量
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int get_count() const
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{
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return count;
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}
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// 获取i所在集合的大小
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int get_size(int i)
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{
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return sz[find(i)];
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}
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};
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// -------- DSU 模板结束 --------
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int main()
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{
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// C++ 标准输入输出加速
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ios_base::sync_with_stdio(false);
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cin.tie(NULL);
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int L, m, q;
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cin >> L >> m >> q;
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// --- 步骤 1: 预处理，构建零费用连通分量 ---
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// DSU对象，大小为L+1以方便使用1-based索引
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DSU dsu(L + 1);
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vector<pair<int, int>> chords;
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for (int i = 0; i < m; ++i)
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{
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int u, v;
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cin >> u >> v;
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// 存储弦，并保证端点有序，方便后续判断
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chords.push_back({std::min(u, v), std::max(u, v)});
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||
// 合并弦的两个端点
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dsu.unite(u, v);
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}
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// 检查所有弦的配对，看它们是否相交 (O(m^2))
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for (int i = 0; i < m; ++i)
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{
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for (int j = i + 1; j < m; ++j)
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||
{
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||
int u1 = chords[i].first;
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int v1 = chords[i].second;
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int u2 = chords[j].first;
|
||
int v2 = chords[j].second;
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// 判断相交：端点是否交错排列
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// (u1 < u2 < v1 < v2) 或 (u2 < u1 < v2 < v1)
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if ((u1 < u2 && u2 < v1 && v1 < v2) || (u2 < u1 && u1 < v2 && v2 < v1))
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{
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// 如果相交，合并它们所在的集合
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||
// 只需要合并任意两个不同弦上的点即可
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dsu.unite(u1, u2);
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}
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}
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}
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// --- 步骤 2: 构建“分量图” ---
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// 使用 map 将 DSU 的根节点映射到从 0 开始的连续索引
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map<int, int> comp_map;
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int comp_idx_counter = 0;
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for (int i = 1; i <= L; ++i) {
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||
int root = dsu.find(i);
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||
if (comp_map.find(root) == comp_map.end()) {
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||
comp_map[root] = comp_idx_counter++;
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||
}
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||
}
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int num_components = comp_map.size();
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vector<vector<int>> comp_adj(num_components);
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// 遍历圆周上的所有相邻点对，构建分量图的邻接表
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for (int i = 1; i <= L; ++i)
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{
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int p1 = i;
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int p2 = (i == L) ? 1 : i + 1; // p2是p1在圆上的下一个点
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// 如果相邻点属于不同分量，则在分量图上添加一条边
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if (!dsu.is_connected(p1, p2))
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||
{
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int root1 = dsu.find(p1);
|
||
int root2 = dsu.find(p2);
|
||
int idx1 = comp_map[root1];
|
||
int idx2 = comp_map[root2];
|
||
comp_adj[idx1].push_back(idx2);
|
||
comp_adj[idx2].push_back(idx1);
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||
}
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||
}
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// --- 步骤 3: 处理查询 ---
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for (int i = 0; i < q; ++i)
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||
{
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int s, t;
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cin >> s >> t;
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||
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||
// 如果起点和终点在同一个分量，费用为0
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if (dsu.is_connected(s, t))
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||
{
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||
cout << 0 << "\n";
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||
continue;
|
||
}
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||
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||
// 否则，在分量图上运行BFS
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||
int start_comp_idx = comp_map[dsu.find(s)];
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||
int end_comp_idx = comp_map[dsu.find(t)];
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queue<pair<int, int>> bfs_q; // 存储 {当前分量索引, 距离}
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vector<int> dist(num_components, -1); // -1表示未访问
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bfs_q.push({start_comp_idx, 0});
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||
dist[start_comp_idx] = 0;
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while (!bfs_q.empty())
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||
{
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||
auto [curr_comp, d] = bfs_q.front();
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||
bfs_q.pop();
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||
if (curr_comp == end_comp_idx)
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||
{
|
||
cout << d << "\n";
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break;
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||
}
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for (int neighbor_comp : comp_adj[curr_comp])
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{
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if (dist[neighbor_comp] == -1) // 如果邻居未被访问
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{
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||
dist[neighbor_comp] = d + 1;
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bfs_q.push({neighbor_comp, d + 1});
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}
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}
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}
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}
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return 0;
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}
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```
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# 补充：优化思路
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由于题目给出的 L 最大可达 3 * 10^8，上面代码会导致MLE。DSU dsu(L + 1) 至少需要约 2.4 GB 内存，显然是不可接受的。
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||
解决这个问题的核心思想是**离散化**，也称**关键点法**。我们无需关心圆上所有的 `L` 个点，真正影响“免费交通网络”结构和连接性的，只有那些被明确提到的“关键点”。
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这些“关键点”包括：
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- 所有 `m` 条弦的 `2*m` 个端点。
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- 所有 `q` 次查询的 `2*q` 个起点和终点。
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除此之外的所有其他点，我们都可以看作是“空白”的弧。我们只需处理这数量级很小（最多 2m + 2q 个）的关键点，并计算它们之间的关系即可。
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对原算法进行如下两个关键的改造：
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1. **使用基于 `std::map` 的并查集（DSU）。** 我们将 DSU 的底层实现从 `std::vector` 改为 `std::map`。`map` 只会为我们实际接触到的“关键点”动态分配内存，而不会预先分配一个大小为 L 的巨大数组。这直接将空间复杂度从 `O(L)` 降至 `O(m+q)`。
|
||
2. **高效构建带权的“分量图”并使用Dijkstra算法。**我们不再遍历 `1` 到 `L` 来建图，而是只关注由所有**关键点**分割出的**关键弧**。
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||
- 首先，我们将所有关键点收集起来，并进行排序和去重。
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||
- 然后，我们遍历这个排好序的关键点列表。对于每一对**在圆弧上相邻**的关键点（例如列表中的 `p_i` 和 `p_{i+1}`，以及最后一个点和第一个点形成的环形弧），它们之间就构成了一段关键弧。
|
||
- 如果这段弧两端的关键点 `p_i` 和 `p_{i+1}` 属于**不同的连通分量**（即 `find(p_i) != find(p_{i+1})`），那么这段弧就是连接两个免费区的“付费桥梁”。
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||
- **关键修正一：** 我们就在这两个分量对应的节点之间连一条边。这条边的**权重**并非固定的1，而是这段弧的**实际长度**（例如 `p_{i+1} - p_i`）。
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||
- **关键修正二：** 因为边的权重不同，使“分量图”成为一个**带权图**。因此，在求解两个分量间的最短路时，我们必须使用 **Dijkstra 算法**，而非原思路中的 BFS。
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这样，我们就在时间和空间上都高效地解决了这个问题。算法复杂度只与 `m` 和 `q` 的大小相关，而与巨大的 `L` 无关。
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## C++ 代码
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```cpp
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#include <iostream>
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#include <vector>
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#include <algorithm>
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#include <utility>
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#include <map>
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#include <queue>
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#include <set>
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using namespace std;
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// -------- 基于 map 的 DSU 模板 --------
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class MapDSU {
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public:
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map<int, int> parent;
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map<int, int> sz;
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int find(int i) {
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if (parent.find(i) == parent.end()) {
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||
parent[i] = i;
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||
sz[i] = 1;
|
||
}
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||
if (parent[i] == i) {
|
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return i;
|
||
}
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||
return parent[i] = find(parent[i]);
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||
}
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void unite(int a, int b) {
|
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int root_a = find(a);
|
||
int root_b = find(b);
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if (root_a != root_b) {
|
||
if (sz[root_a] < sz[root_b]) {
|
||
swap(root_a, root_b);
|
||
}
|
||
parent[root_b] = root_a;
|
||
sz[root_a] += sz[root_b];
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
bool is_connected(int a, int b) {
|
||
// find会自动初始化不存在的点
|
||
return find(a) == find(b);
|
||
}
|
||
};
|
||
|
||
const long long INF = 1e18;
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||
|
||
int main() {
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||
ios_base::sync_with_stdio(false);
|
||
cin.tie(NULL);
|
||
|
||
long long L;
|
||
int m, q;
|
||
cin >> L >> m >> q;
|
||
|
||
MapDSU dsu;
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||
vector<pair<int, int>> chords(m);
|
||
set<int> key_points_set;
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||
|
||
// --- 步骤1: 合并弦和相交弦 ---
|
||
for (int i = 0; i < m; ++i) {
|
||
cin >> chords[i].first >> chords[i].second;
|
||
if (chords[i].first > chords[i].second) {
|
||
swap(chords[i].first, chords[i].second);
|
||
}
|
||
dsu.unite(chords[i].first, chords[i].second);
|
||
key_points_set.insert(chords[i].first);
|
||
key_points_set.insert(chords[i].second);
|
||
}
|
||
|
||
for (int i = 0; i < m; ++i) {
|
||
for (int j = i + 1; j < m; ++j) {
|
||
long long u1 = chords[i].first, v1 = chords[i].second;
|
||
long long u2 = chords[j].first, v2 = chords[j].second;
|
||
if (u1 > u2) {
|
||
swap(u1, u2); swap(v1, v2);
|
||
}
|
||
if (u1 < u2 && u2 < v1 && v1 < v2) {
|
||
dsu.unite(u1, u2);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// --- 步骤2: 收集所有关键点 ---
|
||
vector<pair<int, int>> queries(q);
|
||
for (int i = 0; i < q; ++i) {
|
||
cin >> queries[i].first >> queries[i].second;
|
||
key_points_set.insert(queries[i].first);
|
||
key_points_set.insert(queries[i].second);
|
||
}
|
||
|
||
vector<int> key_points(key_points_set.begin(), key_points_set.end());
|
||
|
||
// --- 步骤3: 构建带权的“分量图” ---
|
||
map<int, int> root_to_idx; // DSU根节点到分量图新索引的映射
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||
int comp_idx_counter = 0;
|
||
for (int point : key_points) {
|
||
int root = dsu.find(point);
|
||
if (root_to_idx.find(root) == root_to_idx.end()) {
|
||
root_to_idx[root] = comp_idx_counter++;
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
int num_components = root_to_idx.size();
|
||
// 邻接表存储 {邻居分量索引, 权重}
|
||
vector<vector<pair<int, long long>>> comp_adj(num_components);
|
||
|
||
// 只需检查排序后相邻关键点之间的弧
|
||
for (size_t i = 0; i < key_points.size(); ++i) {
|
||
int p1 = key_points[i];
|
||
// p2 是 p1 在关键点列表中的下一个点（包括环形）
|
||
int p2 = key_points[(i + 1) % key_points.size()];
|
||
|
||
int root1 = dsu.find(p1);
|
||
int root2 = dsu.find(p2);
|
||
|
||
if (root1 != root2) {
|
||
long long dist;
|
||
if (i == key_points.size() - 1) { // 最后一个点到第一个点的环形距离
|
||
dist = (L - p1) + p2;
|
||
} else {
|
||
dist = p2 - p1;
|
||
}
|
||
int idx1 = root_to_idx[root1];
|
||
int idx2 = root_to_idx[root2];
|
||
comp_adj[idx1].push_back({idx2, dist});
|
||
comp_adj[idx2].push_back({idx1, dist});
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
// --- 步骤4: 处理查询 ---
|
||
for (const auto& query : queries) {
|
||
int s = query.first;
|
||
int t = query.second;
|
||
|
||
if (dsu.is_connected(s, t)) {
|
||
cout << 0 << "\n";
|
||
continue;
|
||
}
|
||
|
||
int start_root = dsu.find(s);
|
||
int end_root = dsu.find(t);
|
||
int start_idx = root_to_idx[start_root];
|
||
int end_idx = root_to_idx[end_root];
|
||
|
||
// Dijkstra 算法
|
||
priority_queue<pair<long long, int>, vector<pair<long long, int>>, greater<pair<long long, int>>> pq;
|
||
vector<long long> dist(num_components, INF);
|
||
|
||
dist[start_idx] = 0;
|
||
pq.push({0, start_idx});
|
||
|
||
while (!pq.empty()) {
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auto [d, u] = pq.top();
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pq.pop();
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if (d > dist[u]) continue;
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if (u == end_idx) break;
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for (const auto& edge : comp_adj[u]) {
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int v = edge.first;
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long long weight = edge.second;
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if (dist[u] + weight < dist[v]) {
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dist[v] = dist[u] + weight;
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pq.push({dist[v], v});
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}
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}
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}
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cout << dist[end_idx] << "\n";
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}
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return 0;
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}
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```
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