# Mathematica 数值分析函数库

提供一系列常用的数值分析函数，旨在帮助用户进行高效的数值计算和线性代数问题求解。以下是每个函数的功能介绍及用法：

## 函数列表

### 1. `EffectiveDigits[a, b]`
计算近似值 `a` 与精确值 `b` 的有效数字位数。

**示例**:
```mathematica
EffectiveDigits[3.1415, Pi]
```

### 2. `GaussN[n]`
统计顺序高斯消去法的乘除法计算次数。参数 `n` 为线性方程组的未知数个数。

**示例**:
```mathematica
GaussN[5]
```

### 3. `LUDe[M]`
对矩阵 `M` 进行 LU 分解，返回下三角矩阵 `L` 和上三角矩阵 `U`。

**示例**:
```mathematica
LUDe[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 4. `ChDe[M]`
进行 Cholesky 分解，输入矩阵 `M` 被分解为下三角矩阵 `G` 和其转置 `G^T` 的乘积，即 `M = G G^T`。

**示例**:
```mathematica
ChDe[{{4, 1}, {1, 3}}]
```

### 5. `PositiveDefiniteMatrixQ[A]`
判断矩阵 `A` 是否为正定矩阵。

**示例**:
```mathematica
PositiveDefiniteMatrixQ[{{4, 1}, {1, 3}}]
```

### 6. `PrincipalMinors[A]`
计算矩阵 `A` 的各阶顺序主子式。

**示例**:
```mathematica
PrincipalMinors[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 7. `CroutDe[A]`
对三对角矩阵 `A` 进行 Crout 分解，返回下三角矩阵 `L` 和单位上三角矩阵 `U`。

**注：此方法比CroutDeCo效率更高。**

**示例**:
```mathematica
CroutDe[{{1, 2, 3}, {0, 4, 5}, {0, 0, 6}}]
```

### 8. `CroutDeCo[A]`
对一般矩阵 `A` 进行 Crout 分解，返回下三角矩阵 `L` 和单位上三角矩阵 `U`。

**示例**:
```mathematica
CroutDeCo[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 9. `Norm[A, p]`
计算矩阵或向量 `A` 的范数，`p` 可以是 1, 2, Infinity 或 "Frobenius"（F-范数）。

**示例**:
```mathematica
Norm[{1, 2, 3}, 2]
```

### 10. `PBJ[A]`
计算矩阵 `A` 的谱半径。

**示例**:
```mathematica
PBJ[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 11. `Cond[A, p]`
计算矩阵 `A` 的 `p` 条件数。

**示例**:
```mathematica
Cond[{{1, 2}, {3, 4}}, 2]
```

### 12. `Jacobi[A]`
计算矩阵 `A` 的 Jacobi 迭代法的迭代矩阵。

**示例**:
```mathematica
Jacobi[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 13. `GS[A]`
计算矩阵 `A` 的高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵。

**示例**:
```mathematica
GS[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

### 14. `IsStrictlyDiagonallyDominant[A]`
判断矩阵 `A` 是否严格对角占优。

**示例**:
```mathematica
IsStrictlyDiagonallyDominant[{{4, 1}, {2, 3}}]
```

### 15. `SOR[A, w]`
计算矩阵 `A` 的 SOR 方法的迭代矩阵，`w` 为松弛因子。

**示例**:
```mathematica
SOR[{{1, 2}, {3, 4}}, 1.25]
```

### 16. `QRDecomposition[M]`
对矩阵 `M` 进行 QR 分解，返回一个正交矩阵 `Q` 和一个上三角矩阵 `R`。

**示例**:
```mathematica
QRDecomposition[{{1, 2}, {3, 4}}]
```

## 安装与使用

- 务必先计算整个笔记本后，再进行具体数值的计算。