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title: 两字符串系列DP问题归纳
description: 两字符串二维DP系列问题
date: 2025-08-31T21:50:00+08:00
lastmod: 2025-08-31T21:51:00+08:00
slug: 子序列dp
# image: helena-hertz-wWZzXlDpMog-unsplash.jpg
categories:
    - 算法题
tags: [
    "字符串",
    "动态规划",
    "算法"
]
math: true
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约定：记两个字符串`s1`和`s2`的长度分别为 $m$ 和 $n$，令`vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));`，`dp[i][j]` 表示 `s1[0..i-1]` 和 `s2[0..j-1]` 的 (最长公共子序列/不同子序列/……) 的 (长度/个数/……)。

# 最长公共子序列

给定两个字符串 `s1` 和 `s2`，返回这两个字符串的最长 **公共子序列** 的长度。如果不存在 **公共子序列** ，返回 `0` 。

一个字符串的 **子序列** 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

- 例如，`"ace"` 是 `"abcde"` 的子序列，但 `"aec"` 不是 `"abcde"` 的子序列。

两个字符串的 **公共子序列** 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

## DP公式

`dp[i][j]`代表的是`s1[0..i-1]`和`s2[0..j-1]`的最长公共子序列的长度。注意到这个问题两个字符串地位是完全对称的，所以DP公式中i和j也应当可以互换。

- 如果 $s1[i-1] = s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1$。
- 如果 $s1[i-1] \ne s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])$。

## 边界条件

$dp[0][j] = 0$，$dp[i][0] = 0$。

# 最长回文子序列

给你一个字符串 `s` ，找出其中最长的回文子序列，并返回该子序列的长度。

**示例：**
> 输入：s = "bbbab"
> 输出：4
> 解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

此题可以看做**一个字符串和它的逆序字符串的最长公共子序列**。

# 不同的子序列

给你两个字符串 `s1` 和 `s2` ，统计并返回在 `s1` 的 子序列 中 `s2` 出现的个数。

**示例：**

> 输入：s1 = "rabbbit", s2 = "rabbit"
> 输出：3
> 解释：
> 如下所示, 有 3 种可以从 `s1` 中得到 `s2` 的方案。
>- <u>rabb</u>b<u>it</u>
>- <u>rab</u>b<u>bit</u>
>- <u>ra</u>b<u>b</u><u>bit</u>

## DP公式

`dp[i][j]`代表的是`s1[0..i-1]`的子序列中`s2[0..j-1]`的个数。

- 如果 $s1[i-1] = s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]$。
- 如果 $s1[i-1] \ne s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$。

## 边界条件

- $dp[0][j] = 0$，1 <= j <= n，表示在空字符串中找到非空字符串，显然不可能。
- $dp[i][0] = 1$，0 <= i <= m，表示在非空字符串中找到空字符串序列，只有一种办法，删除所有字符。

# 编辑距离

给你两个单词 `s1` 和 `s2`， 请返回将 `s1` 转换成 `s2` 所使用的最少操作数。你可以对一个单词进行如下三种操作：

- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符

**示例：**

> 输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
> 输出：3
> 解释：
>- horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
>- rorse -> rose (删除 'r')
>- rose -> ros (删除 'e')

## DP公式

`dp[i][j]`代表的是`s1[0..i-1]`转换成`s2[0..j-1]`所使用的最少操作数。注意到这个问题两个字符串地位也是完全对称的，所以DP公式中i和j也应当可以互换。

- 如果 $s1[i-1] = s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1]$。
- 如果 $s1[i-1] \ne s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = \min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1$。

## 边界条件

- $dp[0][j] = j$，0 <= j <= n，表示将空字符串转换成`s2[0..j-1]`，需要插入 $j$ 个字符。
- $dp[i][0] = i$，0 <= i <= m，表示将`s1[0..i-1]`转换成空字符串，需要删除 $i$ 个字符。

# 两个字符串的最小ASCII删除和

给定两个字符串`s1` 和 `s2`，返回 使两个字符串相等所需删除字符的 **ASCII** 值的最小和。

**示例:**
> 输入: s1 = "sea", s2 = "eat"
> 输出: 231
> 解释: 在 "sea" 中删除 "s" 并将 "s" 的值(115)加入总和。
> 在 "eat" 中删除 "t" 并将 116 加入总和。
> 结束时，两个字符串相等，115 + 116 = 231 就是符合条件的最小和。

## DP公式

`dp[i][j]`代表的是`s1[0..i-1]`和`s2[0..j-1]`相等所需删除字符的ASCII值的最小和。注意到这个问题两个字符串地位也是完全对称的，所以DP公式中i和j也应当可以互换。

- 如果 $s1[i-1] = s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j-1]$。
- 如果 $s1[i-1] \ne s2[j-1]$，则 $dp[i][j] = \min(dp[i][j-1]+s2[j-1], dp[i-1][j]+s1[i-1])$。

## 边界条件

- $dp[i][0]=dp[i-1][0]+s1[i-1]$，0 <= i <= m。
- $dp[0][j]=dp[0][j-1]+s2[j-1]$，0 <= j <= n。


# 交错字符串

给定三个字符串 `s1`、`s2` 和 `s3`，请你帮忙验证 `s3` 是否是由 `s1` 和 `s2` 交错组成的。

**示例：**
<img src="https://cdn.ember.ac.cn/images/bed/202509011141981.png" width="500">
> 输入：s1 = "aabcc", s2 = "dbbca", s3 = "aadbbcbcac"
> 输出：true
> 解释：s3 可以由 s1 和 s2 交错组成。
> s1 = "aabcc"
> s2 = "dbbca"
> s3 = "aadbbcbcac"
> s3 可以由 s1 和 s2 交错组成。

## DP公式

`dp[i][j]`代表的是`s1[0..i-1]`和`s2[0..j-1]`能否交错组成`s3[0..i+j-1]`。注意到这个问题两个字符串地位也是完全对称的，所以DP公式中i和j也应当可以互换。

- 如果 $s1[i-1] = s3[i+j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$。
- 如果 $s2[j-1] = s3[i+j-1]$，则 $dp[i][j] = dp[i][j-1]$。
- 合起来就是 `dp[i][j] = (dp[i-1][j] && s1[i-1] == s3[i+j-1]) || (dp[i][j-1] && s2[j-1] == s3[i+j-1])`。

## 边界条件

- `dp[0][0] = true`，表示空字符串可以交错组成空字符串。
- `dp[i][0] = (dp[i-1][0] && s1[i-1] == s3[i-1]) `，1 <= i <= m。
- `dp[0][j] = (dp[0][j-1] && s2[j-1] == s3[j-1]) `，1 <= j <= n。
- <strong>必须检查：</strong>如果`s1.size() + s2.size() != s3.size()`，则直接`return false`。