diff --git a/content/page/about/index.md b/content/page/about/index.md index 78110b2..209d4a0 100644 --- a/content/page/about/index.md +++ b/content/page/about/index.md @@ -35,7 +35,7 @@ links: --- -🎓 NEU 软院大三在读，目前🐧厂实习ing +🎓 NEU 软院大三在读，曾经的🐧厂实习er
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🔧 技术迷，喜欢折腾 diff --git a/content/post/算法题/nju01.md b/content/post/算法题/nju01.md new file mode 100644 index 0000000..e647c6c --- /dev/null +++ b/content/post/算法题/nju01.md @@ -0,0 +1,266 @@ +--- +title: 南软/智软2025年开放日机试第1题 +description: 图论+并查集问题 +date: 2025-07-27T11:59:00+08:00 +slug: nju01 +# image: helena-hertz-wWZzXlDpMog-unsplash.jpg +categories: + - 算法题 +tags: [ + "图论", + "并查集", + "算法", + "夏令营" +] +math: true +--- + +# 题目 + +有一个圆上均匀分布着L个点（编号按逆时针顺序依次为1~L）。在这些点中还存在m条弦。如果在圆弧上从一个点走到另一个相邻的点，需要支付1元的费用；但如果通过弦来走（包括交点），则无需支付费用。 +例如，如图所示，如果存在弦（1,3）和（2,4），则从点1到点2可以先从1走到两条弦的交点，再从交点走到2，这样就无需收费。请你设计算法，找出某两个点之间最少的交通费。 + +- 程序的第一行输入三个整数：L、m、q，用空格分隔。 +- 接下来输入m行，每行两个整数，表示一条弦。 +- 接下来输入q行，每行两个整数，表示q个问题。如“1 2”则表示一个问题，表示点1和2之间的最少交通费。 +- 程序的输出为q行，每行为一个问题的答案。 + + + +## 示例输入 +``` +5 2 1 +1 3 +2 4 +1 2 +``` + +## 示例输出 +``` +0 +``` + +# 机试情况 + +南软/智软的夏令营机试是4小时4道题，每题100分，满分400分。4小时内排行榜上此题无人AC，不过有人拿到60-70分。我自己在考场也是没完全做出来，事后思考后才成功做出。 + +# 解题思路 + +我们可以自然地把这个问题抽象为一个图，其中包含两种不同代价的边： + +- 圆弧边：连接圆上相邻的两个点，例如点 i 和点 i+1（以及点 L 和点 1）。走这些边需要花费1元，因此它们的边权为 1。 +- 免费边：所有通过弦和弦的交点构成的路径。走这些边无需花费，因此它们的边权为 0。 + +问题的关键在于，所有通过弦和交点能够互相到达的点，实际上构成了一个“免费交通网络”。网络内的任意两点之间都可以零费用到达。我们可以把这样一个网络视为一个连通分量。 + +所以我们可以用**并查集** 来高效地处理和合并这些连通分量。 + +1. **初始化**：将圆上的 `L` 个点每一个都看作一个独立的集合。 +2. **合并弦端点**：对于给定的 `m` 条弦，每条弦 `(u, v)` 都意味着 `u` 和 `v` 是零费用连通的。我们将 `u` 和 `v` 所在的集合合并。 +3. **合并相交弦**：接下来，我们需要找出所有相交的弦。 + - **如何判断两条弦是否相交？** 假设有两条弦 `(a, b)` 和 `(c, d)`。为了方便判断，我们先将每条弦的端点按编号从小到大排序，即 `u1 = min(a, b), v1 = max(a, b)` 和 `u2 = min(c, d), v2 = max(c, d)`。 这两条弦在圆内相交的充要条件是，它们的端点在圆上是交错排列的。也就是说，必须满足 `u1 < u2 < v1 < v2` 或者 `u2 < u1 < v2 < v1`。 + - 对于每一对相交的弦，例如 `(a, b)` 和 `(c, d)`，它们的所有四个端点 `a, b, c, d` 都应该在同一个零费用连通分量中。我们只需将其中任意一个点（如 `a`）与另一条弦的任意一个点（如 `c`）所在的集合合并即可。 + +完成以上步骤后，并查集就完整地记录了所有的零费用连通分量。 + +**第二步：计算两个点之间的最短交通费** + +对于每一个查询 `(s, t)`： + +1. 首先，我们使用并查集的 `find` 操作检查 `s` 和 `t` 是否在同一个连通分量中。 + - 如果 `find(s) == find(t)`，说明它们在同一个免费交通网络内，可以直接到达，费用为 0。 +2. 如果它们不在同一个连通分量中，费用就来自于在圆弧上从一个连通分量“跳”到另一个连通分量的次数。这可以转化为一个在**“分量图”**上的最短路问题。 + - **构建分量图**：图中的每个节点代表一个连通分量。 + - **分量图的边**：如果圆弧上相邻的两个点 `i` 和 `i+1` 属于不同的连通分量（即 `find(i) != find(i+1)`），我们就在这两个分量对应的节点之间连一条边，权重为 1。 + - **求解**：问题就变成了，在分量图上，从 `s` 所在的分量走到 `t` 所在的分量，最少需要经过几条边。这是一个典型的无权图最短路问题，可以使用**广度优先搜索 (BFS)** 来解决。 + +# C++ 代码 + +```cpp +#include +#include +#include // std::iota +#include // std::swap, std::min, std::max +#include // std::pair +#include +#include + +// -------- DSU 模板 -------- +class DSU +{ +public: + vector parent; + vector sz; // 按大小合并的依据 (避免与C++的size()函数重名，改为sz) + int count; // 联通分量 + DSU(int n) + { + count = n; + parent.resize(n); + sz.resize(n); + std::iota(parent.begin(), parent.end(), 0); // 从0开始连续填充 + sz.assign(n, 1); + } + int find(int i) + { + if (parent[i] == i) + return i; + return parent[i] = find(parent[i]); + } + void unite(int a, int b) + { + int root_a = find(a), root_b = find(b); + if (root_a != root_b) + { + if (sz[root_a] < sz[root_b]) + std::swap(root_a, root_b); + // a是大树，b合并到a + parent[root_b] = root_a; + sz[root_a] += sz[root_b]; + count--; + } + } + bool is_connected(int a, int b) + { + return find(a) == find(b); + } + // 获取联通分量 + int get_count() const + { + return count; + } + // 获取i所在集合的大小 + int get_size(int i) + { + return sz[find(i)]; + } +}; +// -------- DSU 模板结束 -------- + + +int main() +{ + // C++ 标准输入输出加速 + std::ios_base::sync_with_stdio(false); + std::cin.tie(NULL); + + int L, m, q; + std::cin >> L >> m >> q; + + // --- 步骤 1: 预处理，构建零费用连通分量 --- + + // DSU对象，大小为L+1以方便使用1-based索引 + DSU dsu(L + 1); + + vector> chords; + for (int i = 0; i < m; ++i) + { + int u, v; + std::cin >> u >> v; + // 存储弦，并保证端点有序，方便后续判断 + chords.push_back({std::min(u, v), std::max(u, v)}); + // 合并弦的两个端点 + dsu.unite(u, v); + } + + // 检查所有弦的配对，看它们是否相交 (O(m^2)) + for (int i = 0; i < m; ++i) + { + for (int j = i + 1; j < m; ++j) + { + int u1 = chords[i].first; + int v1 = chords[i].second; + int u2 = chords[j].first; + int v2 = chords[j].second; + + // 判断相交：端点是否交错排列 + // (u1 < u2 < v1 < v2) 或 (u2 < u1 < v2 < v1) + if ((u1 < u2 && u2 < v1 && v1 < v2) || (u2 < u1 && u1 < v2 && v2 < v1)) + { + // 如果相交，合并它们所在的集合 + // 只需要合并任意两个不同弦上的点即可 + dsu.unite(u1, u2); + } + } + } + + // --- 步骤 2: 构建“分量图” --- + + // 使用 map 将 DSU 的根节点映射到从 0 开始的连续索引 + std::map comp_map; + int comp_idx_counter = 0; + for (int i = 1; i <= L; ++i) { + int root = dsu.find(i); + if (comp_map.find(root) == comp_map.end()) { + comp_map[root] = comp_idx_counter++; + } + } + + int num_components = comp_map.size(); + vector> comp_adj(num_components); + + // 遍历圆周上的所有相邻点对，构建分量图的邻接表 + for (int i = 1; i <= L; ++i) + { + int p1 = i; + int p2 = (i == L) ? 1 : i + 1; // p2是p1在圆上的下一个点 + + // 如果相邻点属于不同分量，则在分量图上添加一条边 + if (!dsu.is_connected(p1, p2)) + { + int root1 = dsu.find(p1); + int root2 = dsu.find(p2); + int idx1 = comp_map[root1]; + int idx2 = comp_map[root2]; + comp_adj[idx1].push_back(idx2); + comp_adj[idx2].push_back(idx1); + } + } + + // --- 步骤 3: 处理查询 --- + for (int i = 0; i < q; ++i) + { + int s, t; + std::cin >> s >> t; + + // 如果起点和终点在同一个分量，费用为0 + if (dsu.is_connected(s, t)) + { + std::cout << 0 << "\n"; + continue; + } + + // 否则，在分量图上运行BFS + int start_comp_idx = comp_map[dsu.find(s)]; + int end_comp_idx = comp_map[dsu.find(t)]; + + std::queue> bfs_q; // 存储 {当前分量索引, 距离} + vector dist(num_components, -1); // -1表示未访问 + + bfs_q.push({start_comp_idx, 0}); + dist[start_comp_idx] = 0; + + while (!bfs_q.empty()) + { + auto [curr_comp, d] = bfs_q.front(); + bfs_q.pop(); + + if (curr_comp == end_comp_idx) + { + std::cout << d << "\n"; + break; + } + + for (int neighbor_comp : comp_adj[curr_comp]) + { + if (dist[neighbor_comp] == -1) // 如果邻居未被访问 + { + dist[neighbor_comp] = d + 1; + bfs_q.push({neighbor_comp, d + 1}); + } + } + } + } + + return 0; +} +``` \ No newline at end of file